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<meta name="author" content="House">
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<script type="text/javascript">document.write("<title>勾股定理</title>")</script> <!-- <script>定义了客户端脚本-->
<noscript><title>勾股定理</title></noscript>
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    <h1 style="text-align:center">勾股定理及勾股定理的逆定理</h1>
    <audio loop>
        <source src="Videos/背景音乐.mp3" type="audio/mpeg">
    </audio>
    <p>本文有两个部分:分别是<a href = "#G1" style="text-decoration:none;background-color: rgb(255,255,0);color: blue;">勾股定理</a>和<a href = "#G2" style="text-decoration:none;background-color: rgb(255,255,0);color: blue;">勾股定理的逆定理</a></p>
    <hr>
    <br/>
    <h2><a id = "G1">勾股定理</h2>
    <p><font style="background-color: #FFFF00;">直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。</font></p>
    <img alt="勾股定理" src="Pictures\勾股定理.jpg" width="350" height="240" title="勾股定理" />
    <br/>
    <a href="https://baike.baidu.com/item/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86/91499?fr=aladdin" target="_blank" style="text-decoration:none;color: blue;">有关勾股定理的视频</a>
    <br/>
    <h3>勾股数组</h3>
    <p>勾股数组是满足勾股定理的正整数组，其中的a,b,c称为勾股数。例如(3,4,5)就是一组勾股数组。<br/>
    任意一组勾股数可以表示为如下形式:<font style="background-color: yellow;">a=k(m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>),b=2kmn,c=k(m<sup>2</sup>+n<sup>2</sup>),其中k,m,n均为正整数，且m>n。</font></p>
    <form oninput="a.value=parseInt(k.value)*(parseInt(m.value)*parseInt(m.value)-parseInt(n.value)*parseInt(n.value));b.value=2*parseInt(k.value)*parseInt(m.value)*parseInt(n.value);c.value=parseInt(k.value)*(parseInt(m.value)*parseInt(m.value)+parseInt(n.value)*parseInt(n.value))">
        k:1<input type="range" id="k" value="1" min="0" max="5" step="0.05">5
        m:1<input type="range" id="m" value="1" min="0" max="5" step="0.05">5
        n:1<input type="range" id="n" value="1" min="0" max="5" step="0.05">5<br/>
        ( <output name="a" for="k m n"></output> )
        <sup>2</sup>+( <output name="b" for="k m n"></output> )
        <sup>2</sup>=( <output name="c" for="k m n"></output> )
        <sup>2</sup>
    </form>
    <p>以下是几组经典的勾股数:<p>
    <table border="1"  cellspacing="0"> <!-- 还有cellpadding属性-->
    <caption><font size="5"><strong>勾 股 数 组</strong></font></caption>
    <colgroup>
        <col style="background-color:grey">
    </colgroup>
    <thead>
    <tr>
        <th>三角形的边</th>
        <th colspan="2">最经典的</th>
        <th colspan="2">用的比较少的</th>
    </tr>
    </thead>
    <tbody>
    <tr>
        <th>第一条直角边</th>
        <td> 3 </td>
        <td> 5 </td>
        <td> 7 </td>
        <td> 9 </td>
    </tr>
    <tr>
        <th>第二条直角边</th>
        <td> 4 </td>
        <td> 12</td>
        <td> 24</td>
        <td> 40</td>
    </tr>
    </tbody>
    <tfoot>
    <tr>
        <th>斜边(<em>非直角边</em> )</th>
        <td> <strong>5</strong><font size="2">(3<sup>2</sup>+4<sup>2</sup>=5<sup>2</sup>)</font></td>
        <td> <strong>13</strong><font size="2">(5<sup>2</sup>+12<sup>2</sup>=13<sup>2</sup>)</font></td>
        <td> <strong>25</strong><font size="2">(7<sup>2</sup>+24<sup>2</sup>=25<sup>2</sup>)</font></td>
        <td> <strong>41</strong><font size="2">(9<sup>2</sup>+40<sup>2</sup>=41<sup>2</sup>)</font></td>
    </tr>
    </tfoot>
    </table>
    <br/>
    <h3>勾股定理证法</h3>
    <!--<div id="container" style="width: 500px;">
    <div id="header" style="background-color:orangered;text-align:center">
    <h2 style="margin-bottom: 0;">勾股定理证法</h2></div>
    <div id="menu" style="background-color:lightyellow;height:200px;width:100px;float:left">
    <b>赵爽弦图</b></div>
    -->
    <table width="750" border="1"  cellspacing="0">
    <tr>
        <td colspan="2" style="background-color: orangered;text-align: center;">
        <h2 style="margin-bottom: 0;">勾股定理证法</h2>
        <br/>
        </td>
    </tr>
    <tr>
        <td style="background-color:lightyellow;width:100px;text-align: center;">
        <b><font size="3">赵爽弦图</font></b>
        </td>
        <td style="background-color:lightskyblue;"><a href="https://baike.baidu.com/item/%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E6%9C%AF/348232?fr=aladdin"  target="_blank" style="color: blue;">《九章算术》</a>中，<a href="https://baike.baidu.com/item/%E8%B5%B5%E7%88%BD/3036362?fr=aladdin"  target="_blank" style="color: blue;">赵爽</a>描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘为中黄实。加差实亦成玄实。以差实减玄实，半其余。以差为从法，开方除之，复得勾矣。加差于勾即股。<img alt="赵爽弦图" src="Pictures\赵爽弦图.jpg"  style="float:right" width="200" height="200" title="赵爽弦图"/>凡并勾股之实，即成玄实。或矩于内，或方于外。形诡而量均，体殊而数齐。勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。而股实方其里。减矩勾之实于玄实，开其余即股。倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。加股为玄。以差除勾实得股玄并。以并除勾实亦得股玄差。令并自乘与勾实为实。倍并为法。所得亦玄。勾实减并自乘，如法为股。股实之矩以勾玄差为广，勾玄并为袤。而勾实方其里，减矩股之实于玄实，开其余即勾。倍勾在两边为从法，开矩股之角，即勾玄差。加勾为玄。以差除股实得勾玄并。以并除股实亦得勾玄差。令并自乘与股实为实。倍并为法。所得亦玄。股实减并自乘如法为勾，<img alt="2002年第24届国际数学家大会（ICM）的会标" src="Pictures\第24届国际数学家大会会标.jpg"  style="float:right" width="200" height="200" title="2002年第24届国际数学家大会（ICM）的会标"/>两差相乘倍而开之，所得以股玄差增之为勾。以勾玄差增之为股。两差增之为玄。倍玄实列勾股差实，见并实者，以图考之，倍玄实满外大方而多黄实。黄实之多，即勾股差实。以差实减之，开其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄实乃减之，开其余，得中黄方。黄方之面，即勾股差。以差减并而半之为勾。加差于并而半之为股。其倍玄为广袤合。令勾股见者自乘为其实。四实以减之，开其余，所得为差。以差减合半其余为广。减广于玄即所求也。”  
        <br/>用现代的数学语言描述就是<strong>黄实的面积等于大正方形的面积减去四个朱实的面积</strong>。
        <br/><b>注:</b>2002年第24届<a href="https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%BD%E9%99%85%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AE%B6%E5%A4%A7%E4%BC%9A/3004429?fr=aladdin" target="_blank" style="color:blue;">国际数学家大会(ICM)</a>的会标即为该图。
        </td>
    </tr>
    <tr>
        <td style="background-color:lightyellow;width:100px;text-align: center;">
        <b><font size="3">加菲尔德证法</font></b>
        </td>
        <td style="background-color:lightskyblue;"><img alt="加菲尔德证法" src="Pictures\加菲尔德证法.jpg"  style="float:right" width="290" height="200" title="加菲尔德证法"/><a href="https://baike.baidu.com/item/%E8%A9%B9%E5%A7%86%E6%96%AF%C2%B7%E8%89%BE%E4%BC%AF%E6%8B%89%E5%A7%86%C2%B7%E5%8A%A0%E8%8F%B2%E5%B0%94%E5%BE%B7/1683344?fr=aladdin" style="color: blue;" target="_blank">加菲尔德</a>在证出此结论5年后，成为美国第20任总统，所以人们又称其为“<strong>总统证法</strong>”。
            在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，AE=CD=b,CE=BD=a,AC=BC=c,则<br/>S<sub>△AEC</sub>=S<sub>△CDB</sub>=ab/2,S<sub>△ACB</sub>=c<sup>2</sup>,S<sub>AEDB</sub>=(a+b)*(a+b)/2
            <br/>∵S<sub>△AEC</sub>+S<sub>△CDB</sub>+S<sub>△ACB</sub>=S<sub>AEDB</sub>
            <br/>∴ab/2+ab/2+c<sup>2</sup>=(a+b)<sup>2</sup>/2
            <br/>∴ab+c<sup>2</sup>/2=ab+a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>/2
            <br/>∴c<sup>2</sup>=a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>
        </td>
    </tr>
    <tr>
        <td style="background-color:lightyellow;width:100px;text-align: center;">
        <b><font size="3">加菲尔德证法变式</font></b>
        </td>
        <td style="background-color:lightskyblue;">该证明为<strong>加菲尔德证法的变式</strong>。<img alt="加菲尔德证法变式" src="Pictures\加菲尔德证法变式.jpg"  style="float:right" width="200" height="200" title="加菲尔德证法变式"/>
    <br/>如果将大正方形边长为c的小正方形沿对角线切开，则回到了<strong>加菲尔德证法</strong>。相反，若将上图中两个梯形拼在一起，就变为了此证明方法。
    <br/><strong>大正方形的面积等于中间正方形的面积加上四个三角形的面积</strong>，即:
    <br/>4ab/2+c<sup>2</sup>=(a+b)<sup>2</sup>
    <br/>2ab+c<sup>2</sup>=a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+2ab
    <br/>c<sup>2</sup>=a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>
        </td>
    </tr>
    <tr>
        <td style="background-color:lightyellow;width:100px;text-align: center;">
        <b><font size="3">青朱出入图</font></b>
        </td>
        <td style="background-color:lightskyblue;"><strong>青朱出入图</strong>，<img alt="青朱出入图" src="Pictures\青朱出入图.jpg"  style="float:right" width="180" height="180" title="青朱出入图"/>是东汉末年数学家<a href="https://baike.baidu.com/item/%E5%88%98%E5%BE%BD/42748?fr=aladdin" target="_blank" style="color:blue;">刘徽</a>根据“<strong>割补术</strong>”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法,特色鲜明、通俗易懂。刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，<strong>一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长</strong>。
        </td>
    </tr>
    <tr>
        <td style="background-color:lightyellow;width:100px;text-align: center;">
        <b><font size="3">欧几里得证法</font></b>
        </td>
        <td style="background-color:lightskyblue;">在<a href="https://baike.baidu.com/item/%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97/182343?fr=aladdin" style="color:blue" target="_blank">欧几里得</a>的<a href="https://baike.baidu.com/item/%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%8E%9F%E6%9C%AC/816647?fr=aladdin" target="_blank" style="color:blue;">《几何原本》</a>一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点画一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
        <br/>在这个定理的证明中，我们需要如下四个<strong>辅助定理</strong>：
        <ol start="1">
            <strong><li>如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。(SAS)</li>
            <li>三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。</li>
            <li>任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。</li>
            <li>任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。</li></strong>
        </ol>
        <br/><img alt="欧几里得证法" src="Pictures\欧几里得证法.jpg"  style="float:right" width="225" height="245" title="欧几里得证法"/>证明的思路为：从A点画一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。
        <br/>设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB,其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH,画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L,分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。
        <br/>∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。
        <br/>∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。
        <br/>因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。
        <br/>因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。
        <br/>因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。
        <br/>因此四边形BDLK=BAGF=AB<sup>2</sup>。
        <br/>同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC<sup>2</sup>。
        <br/>把这两个结果相加，AB<sup>2</sup>+AC<sup>2</sup>=BD*BK+KL*KC
        <br/>由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC
        <br/>由于CBDE是个正方形，因此AB<sup>2</sup>+AC<sup>2</sup>=BC<sup>2</sup>，即a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>。
        <br/><strong>注:</strong>此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。
        </td>
    </tr>
    </table>
    <br/>
    <a href="https://haokan.baidu.com/v?vid=15868795884578770362&pd=bjh&fr=bjhauthor&type=video" target="_blank" style="color:blue;text-decoration: none;">通俗易懂的视频,帮助你快速理解勾股定理</a>
    <h2><a id = "G2">勾股定理的逆定理</h2>
    <p>如果<font style="background-color:yellow;">三角形两条边的平方和等于第三边的平方</font>，那么这个三角形就是<font style="background-color:yellow;">直角三角形</font>。<font style="background-color:yellow;">最长边所对的角为直角</font>。</p>
    <img alt="勾股定理的逆定理" src="Pictures\勾股定理2.jpg" width="240" height="240" title="勾股定理的逆定理"/>
    <br/>
    <a href="https://baike.baidu.com/item/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86%E7%9A%84%E9%80%86%E5%AE%9A%E7%90%86/4353342" target="_blank" style="text-decoration:none;color: blue;">有关勾股定理的逆定理的视频</a>
    <br/>
    <br/>
    <font size="4"><em>勾股定理</em> 及<em>勾股定理的逆定理</em><strong> 需要掌握的要领</strong></font>
    <!-- <em> = <i> "斜体"    <strong> = <b> "粗体"-->
    <br/>
    <ol start="1"> <!-- ol为有序列表 ul为无序列表 写ul会显示一个个点 <dl>定义列表 <dt>自定义列表项目 <dd>定义自定列表项的描述 sup上标 sub下标-->
        <li><font size="4"><code>若a,b,c三边所组成的三角形是<strong>直角三角形(Rt△)</strong>,则<strong>a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>(勾股定理公式)</strong><br/></code></font><br/></li>
        <li><font size="4"><code>若<strong>a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>(勾股定理公式)</strong>,则a,b,c三边所组成的三角形是<strong>直角三角形(Rt△)</strong><br/></code></font><br/></li>
    </ol>
    <h2>例题:</h2>
    <iframe width="750" height="750" style="float:center"src="Pictures\捕获.PNG" name="iframe_a" frameborder="0"></iframe>
    <p><a href="https://wenku.baidu.com/view/b8309b2f102de2bd960588cc.html" target="iframe_a" rel="problems" style="color:blue;text-decoration: none;">勾股定理例题</a></p>
    <br/>
    <br/>
    <font size="5"><pre>学到知识,你感到快乐了吗？
--快乐的话，送你一句话：
    <del><bdo dir="rtl">什么是快乐星球？</bdo></del>
    <del>……</del>
    <ins>书山有路勤为径,学海无涯苦作舟</ins>
    	</pre>
    </font>
    <font size="2">谢谢大家的观看！</font>
    <br/>
    <font size="2">你喜欢这个网站吗？</font><br/>
    <form action="">
        <input type="button" value="很喜欢 ! ^_^">
        <input type="button" value="一般般吧……">
        <input type="button" value="不喜欢,说真的 ! ">
    </form>
    <font size="2">对于这个网站,你有什么改进意见吗?</font><br/>
    <textarea rows="10",cols="30">我的建议是……
    </textarea><br/>
    
    <font size="2">累了吗？累了玩一会<a href = "https://www.scratch-cn.cn/discover?p=1&t=a&s=mind&w=n" target="_blank" style="text-decoration:none;color:yellowgreen;">游戏</a>吧！</font>
    <br/>
    <br/>
    <adress><font size="2">本文作者:House<br>特别鸣谢:<q><abbr title="达昌教育培优机构">教育机构</abbr></q>和<q><abbr title="毅斐家务有限公司">有限公司</abbr></q><br>
    作者住址:东莞市莞城岗贝禾仓岭北路东城区10号<br>
    作者电话:137-9480-9970<br>
    </font>
    </adress>
    <!-- <code>计算机输出 <kbd>键盘输入 <tt>打字机文本 <samp>计算机代码样本 <var>计算机变量 这些标签常用于显示计算机/编程代码-->
    <!-- <a href=" "> <img border="0" src=" " alt=" " width=" " height=" "></a>  (border:边框,0为无边框)--> 
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